Question

7．如图，已知CA=CB，BD是∠ABC的角平分线，且AB=BC+CD，求∠C的度数．

Answer 1

分析 在AB上截取BE=BC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△BDE和△BDC全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CD，再求出AE=DE，根据等边对等角可得∠A=∠ADE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，再根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠DEB，根据等边对等角可得∠A=∠ABC，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．

解答 解：如图，在AB上截取BE=BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BDE和△BDC中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴DE=CD，
∵AB=BC+CD，AB=AE+BE，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE，
由三角形的外角性质得，∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，
∵△BDE≌△BDC，
∴∠C=∠DEB=2∠A，
∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+∠A+2∠A=180°，
解得∠A=45°，
所以，∠C=2∠A=90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．