Question

13．如图，点D，E分别是等边△ABC的两边AB，AC上的点，且AD=CE，BQ⊥CD于点Q，PQ=1，求BQ的长．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出AC=CB，∠A=∠BCE=60°，由SAS证明△ACD≌△CBE，得出∠ACD=∠CBE，再由三角形外角证出∠BPQ=60°，根据三角函数即可求出BQ．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCE=60°，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}&{\;}\\{∠A=∠BCE}&{\;}\\{AD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD=∠CBE，
∴∠BPQ=∠CBE+∠BCP=∠ACD+∠BCP=∠BCE=60°，
∵BQ⊥CD，
∴∠BQP=90°，
∴BQ=PQ•tan∠BQP=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．