Question

2．矩形ABCD中，AD=5，BA=8，E在AD上，AE=2，菱形EFGH的顶点G恰好在BC边上，求BF的长．

Answer 1

分析 如图，连接EG，根据矩形的性质得到∠A=∠C=∠B=90°，AD∥BC，BC=AD=5，推出∠AEG=∠EGC，根据矩形的性质得到EF=GH，∠FEG=∠EGC，推出∠AEF=∠CGH，证得△AEF≌△CGH，得到CG=AE=2，求得BG=3，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：如图，连接EG，
在矩形ABCD中，∵∠A=∠C=∠B=90°，AD∥BC，BC=AD=5，
∴∠AEG=∠EGC，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF=GH，∠FEG=∠EGC，
∴∠AEF=∠CGH，
在△AEF与△CGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠AEF=∠CGH}\\{EF=HG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CGH，
∴CG=AE=2，
∴BG=3，
∴AE²+AF²=BC²+BF²，
即4+（8-BF）²=9+BF²，
解得BF=$\frac{59}{16}$．

点评 本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的画出图形是解题的关键．