Question

20．如图，已知以AE为直径的半圆圆心为O，半径为5，矩形ABCD的顶点B在直径AE上，顶点C在半圆上，AB=8，点P为半圆上一点．
（1）矩形ABCD的边BC的长为4；
（2）将矩形沿直线AP折叠，点B落在点B′．
①点B′到直线AE的最大距离是8；
②当点P与点C重合时，如图所示，AB′交DC于点M．
求证：四边形AOCM是菱形，并通过证明判断CB′与半圆的位置关系；
③当EB′∥BD时，直接写出EB′的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，在Rt△OBC中，求出BC即可．
（2）①如图1中，当点B′在直线AD上时，点B'到 AE的距离最大，最大距离为8．
②首先证明四边形AOCM是平行四边形，由OA=OC即可判定四边形AOCM是菱形．只要证明∠OCB′=90°即可判定CB′与半圆相切．
③如图3中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F．由△AEF∽△DBA，可得$\frac{EF}{AB}$=$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AF}{AD}$，推出EF=4$\sqrt{5}$，AF=2$\sqrt{5}$，在Rt△AFB′中，FB′=$\sqrt{AB{′}^{2}+A{F}^{2}}$=2$\sqrt{11}$，即可推出EB′=4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{11}$．如图4中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F，同法可求EB′．

解答 解：（1）如图1中，连接OC．

在Rt△BOC中，∵∠OBC=90°，OC=5，OB=3，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
故答案为4．

（2）①如图1中，当点B′在直线AD上时，点B'到 AE的距离最大，最大距离为8．
故答案为8．

②证明：如图2中，

由折叠可知：∠OAC=∠MAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠OCA=∠MAC．
∴OC∥AM．
又∵CM∥OA，
∴四边形AOCM是平行四边形．
又∵OA=OC，
∴□AOCM是菱形．  
结论：CB′与半圆相切．        
理由：由折叠可知：∠ABˊC=∠ABC=90°．
∵OC∥AM
∴∠ABˊC+∠BˊCO=180°．
∴∠BˊCO=90°．
∴CBˊ⊥OC．
∴CBˊ与半圆相切．                

③如图3中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F．

由△AEF∽△DBA，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AF}{AD}$，
∴EF=4$\sqrt{5}$，AF=2$\sqrt{5}$，
在Rt△AFB′中，FB′=$\sqrt{AB{′}^{2}+A{F}^{2}}$=2$\sqrt{11}$，
∴EB′=4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{11}$．
如图4中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F，

同法可得EF=4$\sqrt{5}$，FB′=2$\sqrt{11}$，
∴EB′=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{11}$．
   综上所述，满足条件的EB′的长为4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{11}$或4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{11}$．

点评 本题考查圆综合题、矩形的性质、翻折变换、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．