Question

18．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE
（2）若sinP=$\frac{3}{5}$，CF=5，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥PC，再利用垂径定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，利用垂径定理得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AG}$，根据圆周角定理得∠ACG=∠CAE，则AF=CF=5，在Rt△ADF中利用三角函数的定义可计算出DF=3，AD=4，再证明△OAH≌△OCD得到AH=CD=8，所以AE=2AH=16，然后证明Rt△ADF∽Rt△AEB，于是利用相似比可计算出BE．

解答 证明：（1）连接OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵C是弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∴PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，
∵CG⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AG}$，
∴$\widehat{AG}$=$\widehat{CE}$，
∴∠ACG=∠CAE，
∴AF=CF=5，
∵PC∥AE，
∴∠EAB=∠P，
在Rt△ADF中，
∵sin∠P=sin∠FAD=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{3}{5}$，
∴DF=3，AD=4，
在△OAH和△OCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OHA=∠ODC}\\{∠AOH=∠DOC}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△OAH≌△OCD，
∴AH=CD=5+3=8，
∴AE=2AH=16，
∵∠DAF=∠EAB，
∴Rt△ADF∽Rt△AEB，
∴DF：BE=AD：AE，即3：BE=4：16，
∴BE=12．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．