在平面直角坐标系中.已知抛物线y=-12x2+bx+c的顶点为P.等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为.直角顶点B在第四象限．(1)如图.若该抛物线过A.B两点.求b.c的值,中的抛物线.使顶点P在直线AC上滑动.且与直线AC交于另一点Q．①点M在直线AC下方.且为平移前(1)中的抛物线上的点.当以M.P.Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时.求点M的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-

x²+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q．
①点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；
②取BC的中点N，连接NP，BQ．当

NP+BQ

取最大值时，点Q的坐标为

．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）①首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．
若△MPQ为等腰直角三角形，因为PQ为直角边，所以点M到PQ的距离为2

．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x-5）与抛物线的交点，即为所求之M点；
②由①可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，进而求出点Q的坐标．

解答：解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，-1）
∵抛物线过点A（0，-1），B（4，-1）两点，

-1=c

-1=-

×42+4b+c

，
解得：

b=2

c=-1

；

（2）由（1）得 y=-

x2+2x-1．
①∵A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）．
∴直线AC的解析式为：y=x-1．
设平移前的抛物线的顶点为P₀，可得P₀（2，1），且P₀在直线AC上．
∴AP0=2

，
∵点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q．
∴PQ=AP₀=2

，
∵PQ为直角边，M到PQ的距离为2

（即为PQ的长）．
由A（0，-1），B（4，-1），P₀（2，1）可知：
△ABP₀为等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=2

．
过点B作直线l₁∥AC，直线l₁与抛物线y=-

x²+2x-1的交点即为符合条件的点M．
∴可设直线l₁的解析式为：y=x+b₁．
又∵点B的坐标为（4，-1），
∴-1=4+b₁．解得b₁=-5．
∴直线l₁的解析式为：y=x-5．
解方程组

y=x-5

y=-

x2+2x-1

，

解得：

x=4

y=-1

或

x=-2

y=-7

，
∴M₁（4，-1），M₂（-2，-7）；
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M₁（4，-1），M₂（-2，-7）；
②取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，则

NP+BQ

取最大值，
∴点Q的坐标为(

，

)，
故答案为：(

，

)．

点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．