Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，高线AD和BE交于点F．求证：CD=DF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由AD与BE为两条高，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用内角和定理得到∠CAD=∠FBD，根据∠ABC=45°，得到三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，利用ASA得到三角形ADC与三角形BDF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

解答：证明：∵AD、BE是△ABC的高线，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠AEB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠EBC+∠BFD=90°，∠CAD+∠AFE=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠EBC，
在△BDF和△ADC中，

∠CAD=∠EBC AD=BD ∠ADC∠BDF=90°

，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴CD=DF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．