Question

如图，AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，交AB于点F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求DF的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质以及切线的判定进而得出即可；
（2）利用等腰三角形的性质得出∠FOE=∠B=30°，进而得出FO的长，再利用勾股定理得出DF的长即可．

解答：（1）证明：连接CO，
∵AO=BO，CA=CB，
∴CO⊥AB，
∵CO为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：连接FO，
∵OA=OB，∠A=30°，OC⊥AB，CO=2，
∴AO=4，∠B=30°，
∵⊙O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，
∴FE⊥BO，OE=BE=2，
∴FO=FB，
∴∠FOE=∠B=30°，
∴cos∠FOE=

EO

FO

=

2

FO

=

3

2

，
解得：FO=

4 3

3

，
∵∠A=∠B=∠BOF=30°，
∴∠AOF=90°，
∴DF=

DO2+FO2

=

22+( 4 3 3 )2

=

2 21

3

．

点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，得出∠AOF=90°是解题关键．