Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，M是抛物线的顶点，三角形AMB的面积等于1，则下列结论：
①$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$＜0  ②ac-b+1=0  ③（2-b）³=8a²  ④OA•OB=-$\frac{c}{a}$
其中正确的结论的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由OA=OC可得到C点坐标为（0，c），A点坐标为（-c，0），把它们代入解析式解得ac-b+1=0，即可判断②；由ac-b+1=0得出b=ac+1＜1，c=$\frac{b-1}{a}$，根据三角形面积公式求得（2-b）³=8a²，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④．

解答 解：∵抛物线的顶点在第一象限，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞0，
∴$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$＜0，所以①正确；
∵OA=OC，
∴C点坐标为（0，c），A点坐标为（-c，0），
代入y=ax²+bx+c得ac²-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，所以②正确；
∵ac-b+1=0，
∴ac=b-1，b=ac+1＜1，
∴c=$\frac{b-1}{a}$，
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-4•\frac{c}{a}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4b-4}{{a}^{2}}}$=$\frac{b-2}{a}$
∴$\frac{1}{2}$AB•y_M=$\frac{1}{2}$×$\frac{b-2}{a}$×$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=1，
∴$\frac{b-2}{a}$×$\frac{（2-b）^{2}}{4a}$=2，
∴（2-b）³=8a²，所以③正确；
∴OA=-x₁，OB=x₂，
∴OA•OB=-x₁x₂=-$\frac{c}{a}$，所以④正确；
故选A．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．