Question

11．如图，已知△ABC的内角∠A=α°，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂；…以此类推得到∠A₂₀₁₄，则∠A₂₀₁₄的度数是$\frac{1}{{2}^{2014}}$α．

Answer 1

分析 由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A₁=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC），即∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理可得，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，依此类推即可．

解答 解：△ABC中，∵∠A=∠ACD-∠ABC，A₁是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A；
同理可得，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，
∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A，
…
依此类推，∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，即∠A_n=$\frac{α}{{2}^{n}}$．
∴∠A₂₀₁₄=$\frac{1}{{2}^{2014}}$α，
故答案为：$\frac{1}{{2}^{2014}}$α．

点评 本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．