Question

10．如图，在直角坐标平面上，△AOB是直角三角形，点O在原点上，A、B两点的坐标分别为（-1，y₁）、（3，y₂），线段AB交y轴于点C．若S_△AOC=1，记∠AOC为α，∠BOC为β，则sinα•sinβ的值为$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由A、B两点的坐标分别为（-1，y₁）、（3，y₂），S_△AOC=1，可求得OD，OE，OC的长，继而求得△AOB的面积，求得OA•OB的值，又由三角函数的定义，即可求得答案．

解答 解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵A、B两点的坐标分别为（-1，y₁）、（3，y₂），
∴OD=1，OE=3，
∵S_△AOC=1，
∴$\frac{1}{2}$OC•OD=1，
∴OC=2，
∴S_Rt△AOB=S_△AOC+S_△BOC=1+$\frac{1}{2}$OC•OE=1+3=4，
∴$\frac{1}{2}$OA•OB=4，
∴OA•OB=8，
∵OA∥OC∥BE，
∴∠OAD=∠AOC=α，∠OBE=∠BOC=β，
∴sinα•sinβ=$\frac{OD}{OA}$•$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OD•OE}{OA•OB}$=$\frac{3}{8}$．
故答案为：$\frac{3}{8}$．

点评 此题考查了三角函数的定义、直角三角形的性质以及坐标与图形的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．