Question

如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上的一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F，当线段EF的长最小时，cos∠EFD=

 

．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,垂线段最短,锐角三角函数的定义

专题：

分析：连接CD，判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等可得EF=CD，然后根据垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，利用勾股定理列式求出AB，根据矩形的性质可得∠EFD=∠ECD，再根据同角的余角相等求出∠ECD=∠A，从而得到∠EFD=∠A，然后根据锐角三角函数的定义列式计算即可得解．

解答：解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
∵四边形CEDF是矩形，
∴∠EFD=∠ECD，
∵∠ECD+∠ACD=90°，
∠A+∠ACD=90°，
∴∠ECD=∠A，
∴∠EFD=∠A，
在Rt△ABC中，cos∠A=

AC

AB

=

3

5

，
∴cos∠EFD=cos∠A=

3

5

．
故答案为：

3

5

．

点评：本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质与判定方法并确定出EF最短时的位置是解题的关键．