Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2

2

，连接AC．
（1）求出直线AC的函数解析式；
（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；
（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）先在Rt△ABO中，运用勾股定理求出OB=

AB2-OA2

=

(2 2 )2-22

=2，得出B（-2，0），再根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为（4，0），又A（0，2），利用待定系数法即可求出直线AC的函数解析式；
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A，C，D三点的坐标代入，利用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式；
（3）先由点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=-

1

4

x²+

1

2

x+2上，得出m＜-2或m＞4，n=-

1

4

m²+

1

2

m+2＜0，于是PM=

1

4

m²-

1

2

m-2．由于∠PMC=∠AOC=90°，所以当Rt△PCM与Rt△AOC相似时，有

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

或

PM

MC

=

OC

AO

=2．再分两种情况进行讨论：①若m＜-2，则MC=4-m．由

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

，列出方程

1 4 m2- 1 2 m-2

4-m

=

1

2

，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（-4，-4）；由

PM

MC

=

OC

AO

=2，列出方程

1 4 m2- 1 2 m-2

4-m

=2，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（-10，-28）；②若m＞4，则MC=m-4．由

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

时，列出方程

1 4 m2- 1 2 m-2

m-4

=

1

2

，解方程求出m的值均不合题意舍去；由

PM

MC

=

OC

AO

=2，列出方程

1 4 m2- 1 2 m-2

m-4

=2，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（6，-4）．

解答：解：（1）由A（0，2）知OA=2，
在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=2

2

，
∴OB=

AB2-OA2

=

(2 2 )2-22

=2，
∴B（-2，0）．
根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为（4，0）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+n，
则

n=2 4k+n=0

，解得

k=- 1 2 n=2

，
∴直线AC的函数解析式为y=-

1

2

x+2；

（2）设过点A，C，D的抛物线的函数解析式为y=ax²+bx+c，
则

c=2 16a+4b+c=0 4a+2b+c=2

，解得

a=- 1 4 b= 1 2 c=2

，
∴y=-

1

4

x²+

1

2

x+2；

（3）∵点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=-

1

4

x²+

1

2

x+2上，
∴m＜-2或m＞4，n=-

1

4

m²+

1

2

m+2＜0，
∴PM=

1

4

m²-

1

2

m-2．
∵Rt△PCM与Rt△AOC相似，
∴

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

或

PM

MC

=

OC

AO

=2．
①若m＜-2，则MC=4-m．
当

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

时，

1 4 m2- 1 2 m-2

4-m

=

1

2

，
解得m₁=-4，m₂=4（不合题意舍去），
此时点P的坐标为（-4，-4）；
当

PM

MC

=

OC

AO

=2时，

1 4 m2- 1 2 m-2

4-m

=2，
解得m₁=-10，m₂=4（不合题意舍去），
此时点P的坐标为（-10，-28）；
②若m＞4，则MC=m-4．
当

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

时，

1 4 m2- 1 2 m-2

m-4

=

1

2

，
解得m₁=4，m₂=0，均不合题意舍去；
当

PM

MC

=

OC

AO

=2时，

1 4 m2- 1 2 m-2

m-4

=2，
解得m₁=6，m₂=4（不合题意舍去），
此时点P的坐标为（6，-4）；
综上所述，所求点P的坐标为（-4，-4）或（-10，-28）或（6，-4）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰梯形的性质，相似三角形的性质，难度适中．利用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．