Question

8．在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁E₁E₂B₂A₂B₂C₂D₂、D₂E₃E₄B₃、A₃B₃C₃D₃…按如图所示的方式放置，其中点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x轴上．已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠C₁B₁O=30°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…则正方形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的边长是（　　）

• A． ${（\frac{1}{2}）}^{2015}$
• B． ${（\frac{1}{2}）}^{2016}$
• C． ${（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2015}$
• D． ${（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2016}$

Answer 1

分析 利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．

解答 解：∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠C₁B₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，
∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，
∴D₁E₁=C₁D₁sin30°=$\frac{1}{2}$，
则B₂C₂=$\frac{{B}_{2}{E}_{2}}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）¹，
同理可得：B₃C₃=$\frac{1}{3}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
故正方形A_nB_nC_nD_n的边长是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）^n-1，
则正方形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的边长为：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵，
故选C．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题的关键．