Question

18．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、BC于点D、E．图①②③是旋转得到的三种图形．
（1）观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系，以图②为例，加以说明．
（2）△PBE是否能成为等边三角形？若能，直接写出∠PEB的度数．若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：PD=PE．如图②中，连接PC．只要证明△DPC≌△EPB，即可解决问题．
（2）不可能．理由：∠PBE=45°或135°．

解答 解：（1）结论：PD=PE．
理由：如图②中，连接PC．
∵∠C=90°，AC=BC，AP=PB，
∴PC=PA=PB，CP⊥AB，∠PCA=∠PCB=∠B=45°，
∵∠DPE=∠CPB=90°，
∴∠DPC=∠EPB，
在△DPC和△EPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPC=∠EPB}\\{∠DCP=∠B}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△EPB，
∴PD=PE．

（2））△PBE不可能是等边三角形．
利用：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠PBE=45°或135°，
∴△PBE不可能是等边三角形．

点评 本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．