Question

19．已知：如图，在△ABC中，AD、BN分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，CE是△ABC外角∠ACP的平分线，G是AB边上的一点，连接CG，直线BN分别交CG、AD、AC、CE于点F，M，N，E，且CE=AD，∠GBF=∠GCB，求证：BD=FC．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定和性质进行证明即可．

解答 证明：∵∠GBF=∠GCB，∠GBF=∠FBC，
∴∠FBC=∠GCB，
∵∠ECP=$\frac{1}{2}$∠ACP=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=∠GBF+∠BAD，
∴∠FCE=180°-∠BCG-∠ECP=180°-∠BCG-∠GBF-∠BAD．
又∵∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD，
∴∠FCE=∠ADB．
∵∠CFE=∠GFB=∠FBC+∠FCB
又∵∠ABE=∠FBC，∠ABD=∠ABE+∠FBC
∴∠CFE=∠ABD
又∵AD=EC，
∴△ABD≌△EFC．
∴BD=FC．

点评 本题考查了全等三角形的判定，本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．