Question

3．观察下列各式：①$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$；②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$；③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$．
（1）上面各式成立吗？请写出验证过程；
（2）请用字母n（n是正整数且n≥2）表示上面三个式子的规律，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）利用二次根式的化简进行验证即可；
（2）根据等式的左右两边的变化规律可写出其式子的规律，利用二次根式的化简可证明．

解答 解：
（1）成立．
验证如下：
①$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=$\sqrt{\frac{6+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$=$\sqrt{\frac{4×2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=$\sqrt{\frac{24+3}{8}}$=$\sqrt{\frac{27}{8}}$=$\sqrt{\frac{9×3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，
③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=$\sqrt{\frac{60+4}{15}}$=$\sqrt{\frac{64}{15}}$=$\sqrt{\frac{16×4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，
∴各式都成立；
（2）规律：$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$，
证明：
∵$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{n（{n}^{2}-1）+n}{{n}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{{n}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}•n}{{n}^{2}-1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$，
∴等式成立．

点评 本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键，即$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|．