Question

5．【回顾】
如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于3．
【探究】
图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，请你写出小明或小丽推出sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$的具体说理过程．
【应用】
在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）
（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t²的最小值；
（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．

Answer 1

分析 回顾：如图1中，作AH⊥BC．求出AH即可解决问题；
探究：如图2中，根据S_{四边形ABCD}=BC•AB•sin75°=2S_△ABE+2S_△BFC+S_矩形EFGH列出方程即可解决问题；
应用：①作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．因为EC=EH，推出EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，推出BE+EC的最小值为BH，求出BH即可解决问题；
②结论：点G不是AD的中点．理由反证法证明即可．

解答 由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=$\sqrt{3}$a-b，EH=FG=b-a，BC=$\sqrt{2}$b，
解：回顾：如图1中，作AH⊥BC．

在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，
∴AH=AB•sin30°=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AH=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$=3，
故答案为3．

探究：如图2中，

由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=$\sqrt{3}$a-b，EH=FG=b-a，BC=$\sqrt{2}$b，
∵S_{四边形ABCD}=BC•AB•sin75°=2S_△ABE+2S_△BFC+S_矩形EFGH
∴$\sqrt{2}$b•2a•sin75°=2×$\frac{1}{2}$×a×$\sqrt{3}$a+2×$\frac{1}{2}$×b²+（$\sqrt{3}$a-b）（b-a），
∴2$\sqrt{2}$absin75°=$\sqrt{3}$ab+ab，
∴sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
如图3中，

易知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=75°，
∴S_{四边形EFGH}=2•S_△ABE+2•S_△ADF+S_{平行四边形ABCD}，
∴（a+b）（$\sqrt{3}$a+b）═2×$\frac{1}{2}$×a×$\sqrt{3}$a+2×$\frac{1}{2}$×b²+$\sqrt{2}$b•2a•sin75°，
∴sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

应用：①作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．

在Rt△DCJ中，JC=CD•sin75°=$\frac{5}{4}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$），
∴CH=2CJ=$\frac{5}{2}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$），
在Rt△BHC中，BH²=BC²+CH²=36+$\frac{25}{4}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²=86+25$\sqrt{3}$，
∵EC=EH，
∴EB+EC=EB+EH，
在△EBH中，BE+EH≥BH，
∴BE+EC的最小值为BH，
∴t=BE+CE，t²的最小值为BH²，即为86+25$\sqrt{3}$．

②结论：点G不是AD的中点．
理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．

不妨设AG=GD=5，∵CD=5，
∴DC=DG，∵DH⊥CG，
∴GH=CH=3，
在Rt△CDH中，DH=$\sqrt{C{D}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵S_△DGC=$\frac{1}{2}$•CG•DH=$\frac{1}{2}$•DG•CJ，
∴CJ=$\frac{24}{5}$，
∴sin∠CDJ=$\frac{CJ}{CD}$=$\frac{24}{25}$，
∵∠CDJ=75°，
∴与sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$矛盾，
∴假设不成立，
∴点G不是AD的中点．

点评 本题考查四边形综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积．轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会理由分割法求四边形的面积，学会用反证法解决问题，属于中考压轴题．