Question

【题目】已知四边形内接于，对角线于，连接交于点.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，作于，交于，连接，求证：；

（3）在（2）的条件下，连接，若，，,，求长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）延长CO交⊙O于K，连接DK，利用圆周角定理得到∠CDK=90°，根据AC⊥BD及圆周角定理求得∠CBD=∠CKD，即可求出结论；

（2）根据垂直的定义及圆周角定理得到∠BDC=∠BDF，得到DB垂直平分CH，即可证得结论；

（3）作EQ⊥EF交FD于Q，ON⊥AC于N，OM⊥BD于M ，先证△AED与△BEC都为等腰直角三角形，根据 △AEF≌△DEQ求出，勾股定理得AD=，得到AE=ED=12，再利用BE:DE=1：3及勾股定理求出OC即可.

（1）解：延长CO交⊙O于K，连接DK.

∵CK为⊙O直径，

∴∠CDK=90°，

∴∠OCD+∠CKD=90°，

∵AC⊥BD于E ，

∴∠BEC=90°，

∴∠ACB+∠CBD=90°，

∵∠CBD=∠CKD，

∴∠ACB=∠OCD ；

（2）∵DF⊥AB于F，

∴∠DFB=90°，

∵AC⊥BD于E，

∴∠AEB=90°，

∴∠BAC+∠DBF=90°，

∴∠BDF+∠DBF=90°，

∴∠BDF=∠BAC，

∵∠BAC=∠BDC，

∴∠BDC=∠BDF，

∴∠DHC=∠DCH，

∴DB垂直平分CH，

∴BH=BC；

（3）作EQ⊥EF交FD于Q，ON⊥AC于N，OM⊥BD于M ，

∵BC∥AD，

∴∠BCA=∠DAC，

∵∠BCA=∠ADB，

∴∠DAC=∠ADB，

∴△AED与△BEC都为等腰直角三角形，

∵△AEF≌△DEQ，

∴AF=QD=，EF=EQ=，

∴FQ=，

∴，勾股定理得AD=，

∴AE=ED=12，

∵BE：DE=1：3，

∴BE=CE=4，

∴BD=AC=16，

∴BM=CN=8，

∴OM=EN=4，

∴ON=EM=4，

∴OC=.