Question

【题目】如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，在△ABE中，∠AEB＝90°，AE与BC交于点F．

(1)若∠BAE＝30°，BF＝2，求BE的长；

(2)如图2，D为BE延长线上一点，连接AD、FD、CD，若AB＝AD，∠ACD＝135°，求证：BD+BF＝AF．

Answer 1

【答案】（1）BE＝1+；（2）见解析

【解析】

（1）如图1中，作FE⊥BA于E．在Rt△BEF中，求出BE＝EF＝2，在Rt△AEF中，求得AE＝2，再在Rt△ABE中，根据BE＝AB即可解决问题；

（2）延长AC交BD的延长线于H．只要证明△BCH≌△ACF，△CDF≌△CDH，AE垂直平分线段BD，即可解决问题；

（1）解：如图1中，作FE⊥BA于E．

∵CA＝CB，∠C＝90°，

∴∠ABC＝45°，∵∠BEF＝90°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∵BF＝2，

∴BE＝EF＝2，

在Rt△AEF中，∵∠EAF＝30°，

∴AE＝EF＝2，

∴AB＝2+2，

在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，

∴BE＝AB＝1+．

（2）证明：如图2中，延长AC交BD的延长线于H．

∵∠BEF＝∠ACF＝90°，∠BFE＝∠AFC，

∴∠HBC＝∠CAF，∵CB＝CA，∠BCH＝∠ACF，

∴△BCH≌△ACF，

∴AF＝BH，CF＝CH，

∵∠ACD＝135°，∠ACB＝90°，

∴∠ECD＝∠HCD＝45°，

∵CD＝CD，

∴△CDF≌△CDH，

∴DF＝DH，

∵AB＝AD，AE⊥BD，

∴BE＝ED，

∴AE垂直平分线段BD，

∴FB＝FD＝DH，

∴AF＝BH＝BD+DH＝BD+BF，

∴BD+BF＝AF．