Question

4．已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值．
解法展示：∵a+b=5，∴（a+b）²=5²．
∴a²+2ab+b²=25．
∵ab=3，∴a²+6+b²=25．∴a²+b²=19．
合作交流：（1）上述解法主要用了哪些我们学过的公式和法则？请写出一条．
（2）若x满足（210-x）（x-200）=-204，试求（210-x）²+（x-200）²的值．
（3）已x+$\frac{1}{x}$=-2，求x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$和x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据例题中用了完全平方公式即可解答；
（2）利用完全平方公式，则[（210-x）+（x-200）]²=（210-x）²+（x-200）²+2（210-x）（x-200），据此即可求解；
（3）x+$\frac{1}{x}$=-2两边平方即可求得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，然后对这个式子平方即可求得x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$．

解答 解：（1）利用的完全平方公式；
（2）∵[（210-x）+（x-200）]²=（210-x）²+（x-200）²+2（210-x）（x-200）=100，
∴（210-x）²+（x-200）²=100-2（210-x）（x-200）=100+2×204=508；
（3）x+$\frac{1}{x}$=-2两边平方得：x²+2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=4，
则x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=2；
两边平方得x⁴+2+$\frac{1}{{x}^{4}}$=4，
则x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=2．

点评 本题考查了完全平方公式，注意公式的变形是解决本题的关键．