Question

如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠BAD=120°，半径为

3

cm的⊙O在其内部逆时针连续滚动，且总是保持与菱形ABCD的边相切，当⊙O第一次回到起始位置时，圆心O所走过的路程长度为

 

cm．

Answer 1

考点：轨迹

专题：

分析：求得当⊙O和∠B的两边相切到与∠C的两边相切时，两种情况下两个切点之间的距离，即圆心移动的距离，则滚动一周的路程即可求解．

解答：解：当圆在⊙O的位置是，连接OB，连接O和切点E．
∵菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBE=30°，
∴BE=

OE

tan∠OBE

=

3

3 3

=3（cm）；
当⊙O在⊙O'时，∠O'CF=60°，
则CF=

O′F

tan∠O′CF

=

3

tan60°

=1（cm），
则EF=8-3-1=4（cm），
则当⊙O第一次回到起始位置时，圆心O所走过的路程长度为4×4=16（cm）．
故答案是：16．

点评：本题考查切线长定理以及三角函数，正确求得BE和CF的长度是关键．