Question

12．如图，在△ABC上，点D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且CD=CE，∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；
（2）若EC=2，BE=1，∠AOD=2∠1，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠CDE=∠CED，由三角形的外角性质和已知条件得出∠AED=∠BDE，证出OD=OE，由AAS证明△AOD≌△BOE，得出AD=BE，OA=OB，由等腰三角形的性质得出∠OAB=∠OBA，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，证出DE∥AB，即可得出结论；
（2）由三角形的外角性质和已知条件得出∠1=∠OED，证出AD=ED=BE=1，由平行线的性质得出△CDE∽△CAB，得出对应边成比例，即可得出AB的长．

解答 （1）证明：∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE=∠2+∠AED，∠CED=∠1+∠BDE，∠1=∠2，
∴∠AED=∠BDE，
∴OD=OE，
在△AOD和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{∠AOD=∠BOE}&{\;}\\{OD=OE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴AD=BE，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠AOD=∠BOE，
∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是等腰梯形；
（2）解：∵∠AOD=2∠1=∠ODE+∠OED，∠OED=∠ODE，
∴∠1=∠OED，
∴AD=ED=BE=1，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{BC}$，
即$\frac{1}{AB}=\frac{2}{1+2}$，
解得：AB=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等腰梯形的判定、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰梯形的判定，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．