Question

11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线交CD于同一点E，且E是CD的中点，求证：AB=AD+BC．

Answer 1

分析 在AB上截取AD=AD′，根据SAS证明△ADE≌△AD′E（SAS）和△CEB≌△D′EB（SAS），得到DE=ED′，BC=BD′，即可证明AB=BC+AD．

解答 证明：在AB上截取AD=AD′，
∵∠DAB和∠ABC的平分线交CD于同一点E，且E是CD的中点，
∴∠DAE=∠EAB，∠ABE=∠EBC，DE=EC，
在△ADE和△AD′E中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD′}\\{∠DAE=∠D′AE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AD′E（SAS），
∴DE=ED′，∠DEA=∠D′EA，
又∵DE=EC，
∴EC=ED′，
∵AD∥BC，
∴∠DAE+∠CBE=∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠AED′+∠BED′=∠DEA+∠CEB=90°，
又∵∠DEA=∠AED′，
∴∠CEB=∠BED′，
在△CEB和△D′EB中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED′=EC}\\{∠D′EB=∠CEB}\\{EB=EB}\end{array}\right.$，
∴△CEB≌△D′EB（SAS），
∴BC=BD′，
∴AB=AD′+BD′=AD+BC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在AB上截取AD=AD′，构造全等三角形是解决问题的关键．