Question

19．【问题探究】
已知：如图①所示，∠MPN的顶点为P，⊙O的圆心O从顶点P出发，沿着PN方向平移．

（1）如图②所示，当⊙O分别与射线PM，PN相交于A、B、C、D四个点，连接AC、BD，可以证得△PAC∽△△PDB，从而可以得到：PA•P B=P C•P D．
（2）如图③所示，当⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点．求证：PA²=PC•PD．
【简单应用】
（3）如图④所示，（2）中条件不变，经过点P的另一条射线与⊙O相交于E、F两点．利用上述（1），（2）两问的结论，直接写出线段PA与PE、PF之间的数量关系PA²=PE•PF；当PA=4$\sqrt{3}$，EF=2，则PE=6．
【拓展延伸】
（4）如图⑤所示，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大⊙O上的任意两点，经过A、B 两点作线段，分别交小⊙O于C、E、D、F四个点．求证：AC•AE=BD•BF．（友情提醒：可直接运用本题上面所得到的相关结论）

Answer 1

分析 （1）由圆内接四边形的性质得出∠PAC=∠PDB，再由∠P=∠P，得出△PAC∽△PDB，得出对应边成比例，即可得出PA•P B=P C•P D；
（2）连接AC、AD，由弦切角定理得出∠PAC=∠PDA，再由∠P=∠P，证出△PAC∽△PDA，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）由（2）得出PA²=PE•PF．代入已知数据得出PE（PE+2）=48，解方程即可；
（4）过A作⊙O的切线AM，M为切点，过B作⊙O的切线BN，N为切点，连接OA、OM、OB、ON，由切线的性质得出AM⊥OM，BN⊥ON，由（3）得：AM²=AC•AE，BN²=BD•BF．在Rt△AOM中，由勾股定理得出AM²=OA²-OM²，在Rt△BON中，由勾股定理得出BN²=OB²-ON²，再由同圆的半径相等，即可得出结论．

解答 （1）解：由圆内接四边形的性质得：∠PAC=∠PDB，
又∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PDB，
∴PA：PD=PC：PB，
∴PA•P B=P C•P D．
故答案为：△PDB；
（2）证明：连接AC、AD，如图③所示：
∵⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点，
∴∠PAC=∠PDA，
又∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PDA，
∴PA：PD=PC：PA，
∴PA²=PC•PD；
（3）解：由（2）得：PA²=PE•PF．
∵PA=4$\sqrt{3}$，EF=2，
∴PE•PF=（4$\sqrt{3}$）²=48，
即PE（PE+2）=48，
解得：PE=6，或PE=-8（舍去），
∴PE=6，
故答案为：PA²=PE•PF，6；
（4）证明：过A作⊙O的切线AM，M为切点，过B作⊙O的切线BN，N为切点，连接OA、OM、OB、ON，则AM⊥OM，BN⊥ON，如图⑤所示：
由（3）得：AM²=AC•AE，BN²=BD•BF．
在Rt△AOM中，AM²=OA²-OM²，
在Rt△BON中，BN²=OB²-ON²，
又∵OM=ON，OA=OB，
∴AM²=BN²，
∴AC•AE=BD•BF．

点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、圆内接四边形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．