Question

如图，BD、CE是△ABC的高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，下列结论：
①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③BE+CD=BC；④若∠A=60°，则△DEF是等边三角形，其中正确的是

 

（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定,直角三角形斜边上的中线

专题：压轴题

分析：根据直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三角函数的定义分析即可．

解答：解：①∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵F为BC的中点，
∴EF=DF=

1

2

BC，
故①正确；
②∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴

AD

AE

=

AB

AC

，
∴AD：AB=AE：AC；
故②正确；
③∵∠BAC=60°，BD、CE为高，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠A-∠ABD-∠ACE=60°，
∴∠CBD=60°-∠BCE，
∴BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•（sin∠BCE+sin∠CBD）=BC•[sin∠BCE+sin（60°-∠BCE）]，
不一定等于BC，故③不正确；
④∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵DF=CF，EF=BF，
∴∠BEF+∠CDF=120°，
∴∠BFE+∠CFD=120°，
∴∠DFE=60°，
又∵DF=EF，
∴△DEF是等边三角形；故④正确；
∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．

点评：主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三角函数的定义．本题综合性较强，有一定的难度．