Question

8．在边长为4的正方形ABCD中，过点A的直线交边CD所在直线于点F，交对角线BD所在直线于点E．若DF=2，则BE=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$或8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分类讨论：当点F在DC上，如图1，利用正方形的性质得AB=CD=4，BD=4$\sqrt{2}$，AB∥CD，再证明△DEF∽△BEA，根据相似三角形的性质得$\frac{2}{4}$=$\frac{DE}{BE}$，则根据比例的性质可得BE=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$；当点F在CD的延长线上时，如图2，同样可得$\frac{2}{4}$=$\frac{DE}{BE}$，则BD=DE，所以BE=2BD=8$\sqrt{2}$．

解答 解：当点F在DC上，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD=4，BD=4$\sqrt{2}$，AB∥CD，
∵DF∥AB，
∴△DEF∽△BEA，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{DE}{BE}$，
∴$\frac{BE+DE}{BE}$=$\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$；
当点F在CD的延长线上时，如图2，
∵DF∥AB，
∴△DEF∽△BEA，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{DE}{BE}$，
∴BD=DE，
∴BE=2BD=8$\sqrt{2}$，
综上所述，BE的长为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$或8$\sqrt{2}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$或8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质和分类讨论思想的运用．