Question

8．在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在AB上．
（1）如图1，AB=6，连接AE、DF，AE与DF交于点M，若∠DMA=90°，BE=2，求△ADF的面积；
（2）如图2，点G、H分别在AD、CD上，连接GE、HF，GE与HF交于点M，若∠GMH=90°，探究GE与HF之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的基础上，若FG∥EH，点E为BC的中点，如图3所示，若BC=4，ME=2GM，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）EF=GH．将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）易得△AHF∽△CGE，所以$\frac{AF}{CE}=\frac{FH}{EG}=\frac{FO}{OE}=\frac{1}{2}$，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF=$\sqrt{17}$，因为FH∥EG，所以$\frac{FO}{FE}=\frac{HO}{HG}$，根据（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH与三角形EOG的面积相加即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∠DMA=90°
∴∠DAE+∠ADF=90°，∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠ADF=∠EAB
在△DAF和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠EAB}\\{AD=AB}\\{∠BAD=∠B}\end{array}\right.$
∴△DAF≌△ABE，
∴S△ADF=S△ABE=$\frac{1}{2}$•AB•BE=$\frac{1}{2}$×6×2=6；
（2）如图，作AQ∥FH，BP∥EG
则BP=EG，AQ=FH，AQ⊥BP，
∵∠DAQ+∠BAQ=90°，∠ABP+∠BAQ=90°，
∴∠DAQ=∠ABP
在△ABP和△DAQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAQ=∠ABP}\\{AB=AD}\\{∠BAD=∠D}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△DAQ
∴BP=AQ
∴GE=FH；
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{FH}{EG}=\frac{FO}{OE}=\frac{1}{2}$
∵EC=2
∴AF=1
过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF=$\sqrt{17}$，
∵FH∥EG，
∴$\frac{FO}{FE}=\frac{HO}{HG}$
根据（2）知EF=GH，
∴FO=HO．
∴${S}_{△FOH}=\frac{1}{2}F{O}^{2}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}EF）^{2}=\frac{17}{18}$
${S}_{△EOG}=\frac{1}{2}E{O}^{2}=\frac{1}{2}×（\frac{2}{3}EF）^{2}=\frac{68}{18}$，
∴阴影部分面积为$\frac{85}{18}$．

点评 本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，能够恰当的构造辅助线是解决问题的关键，此类题型综合性较强，难度较大．