Question

3．如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA=AP．甲、乙两人想作一条通过点P与⊙O相切的直线，其作法如下．
甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线BP即为所求．
乙：过点A作直线MN⊥OP：以点O为圆心，OP为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）

• A． 甲正确，乙错误
• B． 乙正确，甲错误
• C． 两人都正确
• D． 两人都错误

Answer 1

分析 对于甲的作法，连结OB，如图1，先判断OP为⊙A的直径，再根据圆周角定理得到∠OBP=90°，于是根据切线的判定定理得到PB为⊙O的切线；
对于乙的作法：如图2，通过证明△OAB≌△OCP得到∠OAB=∠OCP=90°，于是根据切线的判定定理得到PC为⊙O的切线．

解答 解：对于甲的作法：

连结OB，如图1，
∵OA=AP，
∴OP为⊙A的直径，
∴∠OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB为⊙O的切线，所以甲的说法正确；
对于乙的作法：

如图2，
∵MN⊥OP，
∴∠OAB=90°，
∵OA=AP，OB=OP，
∴OB=OP，
在△OAB和OCP中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOB=∠COP}\\{OB=OP}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△OCP，
∴∠OAB=∠OCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线，所以乙的说法正确．
故选C．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了作图-复杂作图．