Question

19．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．

解答 解：设EF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
∴BD=$\sqrt{2}$AB=$2\sqrt{2}$，EF=BF=x，
∴BE=$\sqrt{2}$x，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=ED，
∴BD=BE+ED=$\sqrt{2}$x+2=2$\sqrt{2}$，
解得：x=2-$\sqrt{2}$，
即EF=2-$\sqrt{2}$；
故答案为：2-$\sqrt{2}$

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定；证明三角形是等腰三角形，列出方程是解决问题的关键．