Question

18．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：如图1，在等边三角形ABC中，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，证明：BM=CN．
变式探究：如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=∠α，点M为边BC上任意一点，以AM为腰作等腰三角形AMN，MA=MN，使∠AMN=∠ABC，连接CN，请求出$\frac{CN}{BM}$的值．（用含α的式子表示出来）
解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点M为边BC上一点，以AM为边作正方形作AMEF，N为正方形AMEF的中心，连接CN，若正方形AMEF的边长为$\sqrt{10}$，CN=$\sqrt{2}$，请你求正方形ADBC的边长．

Answer 1

分析 问题发现：根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
变式探究：根据△ABC，△AMN为等腰三角形，得到$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MN}$=1且∠ABC=∠AMN，证明△ABC～△AMN，得到$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，利用等腰三角形的性质BA=BC，得到$∠BAC=\frac{18{0}^{°}-α}{2}$，$∠MAN=\frac{18{0}^{°}-α}{2}$，证明△ABM～△ACN，得到$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$，作BD⊥AC，如图2，再由AB=BC，得到∠ABD=$\frac{α}{2}$，根据sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}=sin\frac{α}{2}$，得到AD=AB•sin$\frac{α}{2}$，则AC=2AD=2ABsin$\frac{α}{2}$，从而得到$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$=2sin$\frac{α}{2}$．
解决问题：利用四边形ADBC，AMEF为正方形，得到∠ABC=∠BAC=45°∠MAN=45°，即∠BAM=∠CAN，由$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AN}=\sqrt{2}$，得到$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，证明△ABM～△ACN，得到$\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$，进而得到$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出BM=2，设AC=x，利用勾股定理，在Rt△AMC，AC²+CM²=AM²，即x²+（x-2）²=10，解得：x₁=3，x₂=-1（舍去），即可解答．

解答 解：问题发现，
∵△ABC，△AMN为等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°
∴∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，
∴∠BAM=∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN，
∴BM=CN．
变式探究：∵$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MN}$=1且∠ABC=∠AMN，
∴△ABC～△AMN，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，
∵AB=BC，
∴$∠BAC=\frac{18{0}^{°}-α}{2}$，
∵AM=MN
∴$∠MAN=\frac{18{0}^{°}-α}{2}$，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ABM～△ACN，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$，
作BD⊥AC，如图2，

∵AB=BC，
∴∠ABD=$\frac{α}{2}$，
∴sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}=sin\frac{α}{2}$，
∴AD=AB•sin$\frac{α}{2}$
∴AC=2AD=2ABsin$\frac{α}{2}$，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$=2sin$\frac{α}{2}$
解决问题：
如图3，连接AB，AN．

∵四边形ADBC，AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC
即∠BAM=∠CAN，
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AN}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，
∴△ABM～△ACN，
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴BM=2，
设AC=x，
在Rt△AMC，
AC²+CM²=AM²
即x²+（x-2）²=10，
解得：x₁=3，x₂=-1（舍去），
答：边长为3．

点评 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理，解决本题的关键是相似三角形的判定，在（3）中注意方程思想在勾股定理中应用．