Question

3．下列三角形中，一定是直角三角形的有（　　）
①有两个内角互余的三角形
②三边长为m²-n²，2mn，m²+n²（m＞n＞0）的三角形
③三边之比为3：4：5的三角形
④三个内角的比是1：2：3的三角形．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据已知和三角形内角和定理求出最大内角，即可判断①④；根据勾股定理的逆定理即可判断②③．

解答 解：∵在△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-90°=90°，
即△ABC是直角三角形，∴①正确；
∵（m²-n²）²+（2mn）²=m⁴+2m²n²+n⁴，（m²+n²）²=m⁴+2m²n²+n⁴，
∴（m²-n²）²+（2mn）²=（m²+n²）²，
∴三边长为m²-n²，2mn，m²+n²（m＞n＞0）的三角形是直角三角形，∴②正确；
∵3²+4⁴=5²，
∴三边之比为3：4：5的三角形为直角三角形，∴③正确；
∵三个内角的比是1：2：3的三角形，
∴最大内角为$\frac{3}{6}$×180°=90°，
∴三个内角的比是1：2：3的三角形为直角三角形，∴④正确；
故选D．

点评 本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键．