Question

已知在△FEC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ECF=135°，BE=x，BF=y．
（1）求证：∠ECA=∠F； 
（2）若AE=2，求y与x的函数关系式．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）利用等腰直角三角形的判定与性质得出∠CAE=180°-45°=135°，进而求出△ECA∽△CFB，即可得出答案；
（2）利用△ECA∽△CFB，则

AE

BC

=

AC

BF

，进而求出BE=x=AE+AB=2+2

y

，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAE=180°-45°=135°，
同理∠CBF=135°，
∴∠CAE=∠CBF，
∵∠ECF=135°，∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠BCF=45°，
∵∠ECA+∠E=∠CAB=45°，
∴∠E=∠BCF，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ECA∽△CFB，
∴∠ECA=∠F；

（2）解：∵△ECA∽△CFB，
∴

AE

BC

=

AC

BF

，
即

2

BC

=

AC

y

，
∴BC•AC=BC²=2y，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB²=2BC²=4y，
∴AB=2

y

，
∴BE=x=AE+AB=2+2

y

，
∴y=

1

4

（x-2）²．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出△ECA∽△CFB是解题关键．