Question

如图所示，过正方形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线，在这条直线上取一点E，使BD=ED，且DE与AB交于点F，证明：BE=BF．

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：过A作AG垂直BD于G，过E作EH垂直BD于H．先证明四边形AEHG为矩形，根据矩形和正方形的性质得到AG=EH=

1

2

DB，进一步得到EH=

1

2

DE，由直角三角形EHD中，EH为斜边DE的一半得到∠EDH=30°，再根据等腰三角形的性质和角的和差关系得到∠BFE=∠DEB，从而得到BE=BF．

解答：证明：过A作AG垂直BD于G，过E作EH垂直BD于H．
∵AE∥DB，
∴四边形AEHG为矩形，
∴AG=EH=

1

2

DB，
又∵DE=DB，
∴EH=

1

2

DE，
∴∠EDH=30°（直角三角形EHD中，EH为斜边DE的一半）
又∵BD=DE，
∴∠DEB=∠EBD=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠BFE=∠FBD+∠FDB=45°+30°=75°=∠DEB，
∴BE=BF．

点评：考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是作出辅助线．