Question

6．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：∠AEB的度数为60°；线段BE与AD之间的数量关系是BE=AD．
（3）拓展探究
如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE．
（2）首先根据△ACB和△DCE均为等边三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为60°即可．
（3）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可；最后根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM即可．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE．

（2）解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180-60=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120-60=60°，
综上，可得
∠AEB的度数为60°；线段BE与AD之间的数量关系是：BE=AD．

（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180-45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135-45=90°；
∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
故答案为：60°、BE=AD．

点评 （1）此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．