Question

17．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S_△ABG=S_△AFG；⑤∠AGB+∠AED=145°．
其中正确的个数有4个．

Answer 1

分析 根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由Rt△ABG≌Rt△AFG，可得S_△ABG=S_△AFG；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°．

解答 解：∵△AFE是由△ADE折叠得到，
∴AF=AD，∠AFE=∠AFG=∠D=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
故①正确；
∵正方形ABCD中，AB=6，CD=3DE，
∵EF=DE=$\frac{1}{3}$CD=2，
设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3，CG=6-3=3；
∴BG=CG；
∴②正确．
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
∴③正确
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴S_△ABG=S_△AFG；
∴④正确；
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，
又∵∠BAD=90°，
∴∠GAE=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°-∠GAE=135°．
∴⑤错误．
故答案为：4．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定等知识．注意折叠中的对应关系，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．