Question

【题目】已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AO．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．

（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE；

（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试说明AF与BE的数量关系；

（3）如图3，当点E、F同时在AB边上运动时，将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP，取线段CB的中点Q．连接PQ，若AD＝2a（a＞0），则当PQ最短时，求PF之长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AF＝2BE，见解析；（3）a

【解析】

（1）如图1中，在OD上取一点K，使得OK＝OE，连接DK．想办法证明DK＝AE，DF＝DK即可解决问题．

（2）如图2中，将△OAF绕点O逆时针旋转120°得到△OBJ，连接JE．想办法证明∠JEB＝90°，∠EJB＝30°可得结论．

（3）如图3中，连接BP．证明△OAF≌△OBP（SAS），推出∠PBC＝30°，如图3﹣1中，当QP⊥PB时，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M．解直角三角形求出FM即可解决问题．

（1）证明：如图1中，在OD上取一点K，使得OK＝OE，连接DK．

∵四边形ABCD是矩形，

∴OD＝OA，∠DAB＝90°，

∵AD＝AO，

∴AD＝AO＝OD，

∴△OAD是等边三角形，

∴∠DOA＝∠EOF＝∠DAO＝∠ADO＝60°，

∴∠DOK＝∠AOE，∠OAE＝90°﹣60°＝30°，

∵OD＝OA，OK＝OE，

∴△DOK≌△AOE（SAS），

∴DK＝AE，∠ODK＝∠OAE＝30°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∵∠OEB＝75°，

∴∠OEB＝∠BOE＝75°，

∵∠EOF＝60°，

∴∠DOK＝180°﹣75°﹣60°＝45°，

∴∠DFO＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠DKO＝∠ODK+∠DOK＝75°，

∴∠DFK＝∠DKF＝75°，

∴DF＝DK，

∴DF＝AE．

（2）解：结论：AF＝2BE．

理由：如图2中，将△OAF绕点O逆时针旋转120°得到△OBJ，连接JE．

∵∠AOB＝120°，∠EOF＝60°，

∴∠BOJ+∠BOE＝∠AOF+∠BOE＝60°，

∴∠EOJ＝∠EOF，

∵OF＝OJ，OE＝OE，

∴△EOF≌△EOJ（SAS），

∴∠OEF＝∠OEJ，

∵∠OFB＝75°，∠OBF＝30°，

∴∠BOF＝75°，

∴∠BOE＝75°﹣60°＝15°，

∴∠FEO＝∠BOE+∠OBE＝45°，

∴∠OEF＝∠OEJ＝45°，

∴∠JEB＝∠JEF＝90°，

∵∠OBJ＝∠OAF＝30°，∠OBE＝30°，

∴∠EBJ＝60°，

∴∠EJB＝90°﹣60°＝30°，

∴BJ＝2BE，

∵AF＝BJ，

∴AF＝2BE．

（3）解：如图3中，连接BP．

由翻折可知：OE＝OP，∠EOF＝∠EOP＝60°，

∴∠FOP＝∠AOB＝120°，

∴∠AOF＝∠BOP，

∵OA＝OB，

∴△OAF≌△OBP（SAS），

∴∠OBP＝∠OAF＝30°，AF＝BP，

∵∠OBC＝60°，

∴∠PBC＝30°，

如图3﹣1中，当QP⊥PB时，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M．

在Rt△PQB中，∵∠QPB＝90°，∠PBQ＝30°，BQ＝BC＝AD＝a，

∴PB＝AF＝BQcos30°＝a，

在Rt△AFH中，则有AH＝AFcos30°＝a，FH＝AF＝，

∴OH＝OA﹣AH＝2a﹣a＝，

∴OF＝，

∵OF＝OP，OM⊥PF，

∴FM＝MP＝OFcos30°＝，

∴FP＝2FM＝a．