Question

4．如图，O为$\widehat{AB}$所在圆的圆心，OA⊥OB，P为$\widehat{AB}$上一点（不与点A，B重合），延长AP交OB的延长线于点C，CD⊥OP于点D．若OB=BC=1，则PD的长为（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 过点O作OE⊥AP于点E，证△AOE∽△ACO得$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AE}{AO}$，由OA=OB=BC=1得AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，从而得$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{AE}{1}$，即AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由垂径定理得PE=AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，再证△OPE∽△CPD得$\frac{PE}{PD}$=$\frac{OP}{CP}$，从而得出答案．

解答 解：过点O作OE⊥AP于点E，

则∠AEO=∠AOC=90°，
∵∠OAE=∠CAO，
∴△AOE∽△ACO，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AE}{AO}$，
由OA=OB=BC=1得AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{AE}{1}$，
即AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵OE⊥AP，
∴PE=AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴PC=AC-AP=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵∠OEP=∠D=90°，∠OPE=∠CPD，
∴△OPE∽△CPD，
∴$\frac{PE}{PD}$=$\frac{OP}{CP}$，即$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{PD}$=$\frac{1}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}$，
解得：PD=$\frac{3}{5}$．
故选：C．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，根据题意构建与直角边PD相关的相似三角形是解题的出发点也是关键．