Question

4．如图，在长方形ABCD中，AB＞BC，BE⊥AC，垂足为E，延长BE交CD于F，S表示面积，则给出的下列命题：
①Rt△ABC≌Rt△CDA；②S_△AEF＜S_△BCE；③∠DAE+∠DFE=180°；④∠AFB＞∠ACB
其中正确命题的代号是①③④．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠ABC=∠D=∠BCD=∠BAD=90°，BC=DA，AB=CD，由SAS证明△ABC≌△CDA，①正确；
由△ABF的面积=△ABC的面积，得出△AEF的面积=△BCE的面积，②不正确；
证明A、E、F、D四点共圆，得出∠DAE+∠DFE=180°，③正确；
延长AF交矩形ABCD的外接圆于G，连接BG，由圆周角定理得出∠AGB=∠ACB，由三角形的外角性质得出∠AFB＞∠AGB，得出∠AFB＞∠ACB，④正确；即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠D=∠BCD=∠BAD=90°，BC=DA，AB=CD，
在△ABC和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠ABC=∠D}&{\;}\\{BC=DA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴①正确；
∵△ABF的面积=△ABC的面积=AB•BC，
∴△AEF的面积=△BCE的面积，
∴②不正确；
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF+∠D=180°，
∴A、E、F、D四点共圆，
∴∠DAE+∠DFE=180°，
∴③正确；
∵A、B、C、D四点共圆，
如图所示：延长AF交矩形ABCD的外接圆于G，连接BG，
则∠AGB=∠ACB，
∵∠AFB＞∠AGB，
∴∠AFB＞∠ACB，
∴④正确；
正确的代号是①③④；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．