Question

19．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件AB=CD时，有EF⊥GH．

Answer 1

分析 连接EG、GF、FH、HE，根据三角形中位线定理得到EG∥AB，EG=$\frac{1}{2}$AB，GF∥CD，GF=$\frac{1}{2}$CD，FH∥AB，FH=$\frac{1}{2}$AB，EH∥CD，EH=$\frac{1}{2}$CD，得到平行四边形EGFH，根据菱形的判定和性质证明结论．

解答 解：当AB=CD时，EF⊥GH．
利用：连接EG、GF、FH、HE，
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG∥AB，EG=$\frac{1}{2}$AB，
同理GF∥CD，GF=$\frac{1}{2}$CD，FH∥AB，FH=$\frac{1}{2}$AB，EH∥CD，EH=$\frac{1}{2}$CD，
∴EG∥FH，EG=FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
当AB=CD时，EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH．
故答案为：AB=CD．

点评 本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键．