类比平行四边形.我们学习筝形.定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图①.若AD=CD.AB=CB.则四边形ABCD是筝形．(1)在同一平面内.△ABC与△ADE按如图②所示放置.其中∠B=∠D=90°.AB=AD.BC与DE相交于点F.请你判断四边形ABFD是不是筝形.并说明理由．(2)请你结合图①.写出一个筝形的判定方法．在四边形ABCD中.若AD=CD.∠ADB=� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．类比平行四边形，我们学习筝形，定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图①，若AD=CD，AB=CB，则四边形ABCD是筝形．
（1）在同一平面内，△ABC与△ADE按如图②所示放置，其中∠B=∠D=90°，AB=AD，BC与DE相交于点F，请你判断四边形ABFD是不是筝形，并说明理由．
（2）请你结合图①，写出一个筝形的判定方法（定义除外）．
在四边形ABCD中，若AD=CD，∠ADB=∠CDB，则四边形ABCD是筝形．
（3）如图③，在等边三角形OGH中，点G的坐标为（$\sqrt{3}$-1，0），在直线l：y=-x上是否存在点P，使得以O，G，H，P为顶点的四边形为筝形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）连接AF，通过给定的条件结合全等直角三角形的判定定理（HL）可得出Rt△AFB≌Rt△AFD，由此找出BF=DF，结合筝形定义即可得出结论；
（2）若要四边形ABCD是筝形，只需证明△ABD≌△CBD即可．根据全等三角形的判定定理（SAS）随便选取一组条件“当AD=CD，∠ADB=∠CDB”来证明；
（3）过点H作HP₁⊥OG于点M交直线y=-x于点P₁点，连接GP₁，过点G作GP₂⊥OH与N交直线y=-x于点P₂，连接HP₂，由等边三角形的三线合一可得知“HM为OG的垂直平分线，GN为OH的垂直平分线”，由此即得出“四边形OHGP₁为筝形，四边形OGHP₂为筝形”，再根据给定条件找出点M、N、H点的坐标，利用待定系数法即可得出直线HM和直线GN的解析式，最后结合两直线的交点知识求出点P的坐标．

解答解：（1）四边形ABFD是筝形．
理由：如图②，连接AF．

在Rt△AFB和Rt△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFB≌Rt△AFD（HL），
∴BF=DF，
又∵AB=AD，
∴四边形ABFD是筝形．
（2）若要四边形ABCD是筝形，只需△ABD≌△CBD即可．
当AD=CD，∠ADB=∠CDB时，在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADB=∠CDB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AB=CB，
∴四边形ABCD是筝形．
故答案为：AD=CD，∠ADB=∠CDB．
（3）存在，理由如下：
过点H作HP₁⊥OG于点M交直线y=-x于点P₁点，连接GP₁，过点G作GP₂⊥OH与N交直线y=-x于点P₂，连接HP₂，如图③所示．

∵△OGH为等边三角形，
∴HM为OG的垂直平分线，GN为OH的垂直平分线，且OG=GH=HO，
∴P₂O=P₂H，P₁O=P₁G，
∴四边形OHGP₁为筝形，四边形OGHP₂为筝形．
∵△OGH为等边三角形，点G的坐标为（$\sqrt{3}$-1，0），
∴点H的坐标为（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），点M的坐标为（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，0），点N的坐标为（$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$）．
①∵H（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），M（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，0），
∴直线HM的解析式为x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
令直线y=-x中的x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，则y=-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
∴P₁的坐标为（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）；
②设直线GN的解析式为y=kx+b，则有，
$\left\{\begin{array}{l}{0=（\sqrt{3}-1）k+b}\\{\frac{3-\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线GN的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\\{y=-x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
故点P₂的坐标为（-1，1）．
综上可知：在直线l：y=-x上存在点P，使得以O，G，H，P为顶点的四边形为筝形，点P的坐标为（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）或（-1，1）．

点评本题考查了一次函数的应用、筝形的应用、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）找出BF=DF；（2）证明△ABD≌△CBD；（3）找出点P的位置．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）难度也不大，但在实际做题中，部分图形往往会落下一种情况，因此在日常的练习中应时刻提醒孩子们注意思考问题的全面性．