Question

8．观察下列各式，解答问题：
第1个等式：2²-1²=2×1+1=3；
第2个等式：3²-2²=2×2+1=5；
第3个等式：4²-3²=2×3+1=7；
第4个等式：5²-4²=2×4+1；
…
第n个等式：（n+1）²-n²=2n+1．（n为整数，且n≥1）
（1）根据以上规律，在上边横线上写出第4个等式和第n个等式，并说明第n个等式成立；
（2）请从下面的A，B两题中任选一道题解答，我选择A或B题．
A．利用以上规律，计算2001²-2000²的值．
B．利用以上规律，求3+5+7+…+1999的值．

Answer 1

分析 （1）根据规律写出结果即可．
（2）A：利用规律直接结果即可．
B：逆用规律即可解决问题．

解答 解：（1）5²-4²=2×4+1=9，
（n+1）²-n²=2n+1．
故答案分别为5²-4²=2×4+1=9，（n+1）²-n²=2n+1．
证明：左边=n²+2n+1-n²=2n+1．
右边=2n+1，
∴左边=右边．
∴结论成立．
（2）A：2001²-2000²=2×2000+1=4001．
B：3+5+7+…+1999=2²-1²+3²-2²+4²-3²+…+（$\frac{1999+1}{2}$）²-（$\frac{1991-1}{2}$）²=1000²-1=999999．

点评 本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是掌握从一般到特殊的探究方法，找到规律，属于中考常考题型．