Question

16．如图，CD是⊙O的直径，OB⊥CD交⊙O于点B，连接CB，AB是⊙O的弦，AB交CD于点E，F是CD的延长线上一点且AF=EF．
（1）判断AF和⊙O的位置关系并说明理由
（2）若∠ABC=60°，BC=1cm，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）连结OA，如图，由AF=AE得∠FAE=∠FEA，再利用对顶角相等和∠OBA=∠OAB可得∠OAB+∠FEA=90°，即∠OAF=90°，则OA⊥AF，然后根据切线的判定定理可判断AF为⊙O的切线；
（2）先判断△OBC为等腰直角三角形得到OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再利用圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=120°，则∠AOF=180°-∠AOC=60°，接着根据正切定义计算AF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_△OAF-S_扇形AOD进行计算．

解答 解：（1）AF和⊙O相切．理由如下：
连结OA，如图，
∵AF=AE，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠FEA=∠OEB，
∴∠FAE=∠OEB，
∵OB⊥CD，
∴∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠OEB=90°，
而OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OAB+∠FEA=90°，即∠OAF=90°，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵OB⊥CD，
而OB=OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，
∴∠AOF=180°-∠AOC=60°，
在Rt△OAF中，∵tan∠AOF=$\frac{AF}{AO}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴S_阴影部分=S_△OAF-S_扇形AOD
=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{60•π•（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{360}$
=$\frac{3\sqrt{3}-π}{12}$（cm²）．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．