Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，且∠DBC=∠A，若AC=25，tanA=$\frac{2}{5}$．
（1）BC的长；
（2）∠BDC的余弦值；
（3）AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据在△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{2}{5}$可设BC=x，则AC=5x，再由AC=25即可得出x的值，进而得出BC的长；
（2）根据勾股定理求出AB的长，再由∠DBC=∠A可得出∠BDC=∠ABC，故cos∠BDC=cos∠ABC=$\frac{AC}{AB}$，故可得出结论；
（3）由∠DBC=∠A可得出tan∠A=tan∠DBC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，故可得出CD的长，进而得出结论．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{2}{5}$，
∴设BC=x，则AC=5x，
∵AC=25，即5x=25，解得x=5，
∴BC=10；

（2）∵△ABC中，∠C=90°，AC=25，BC=10，
∴AB=$\sqrt{{25}^{2}+{10}^{2}}$=29．
∵∠DBC=∠A，
∴∠BDC=∠ABC，
∴cos∠BDC=cos∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{25}{29}$；

（3）∵∠DBC=∠A，
∴tan∠A=tan∠DBC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{10}{25}$=$\frac{CD}{10}$，解得CD=4，
∴AD=AC-CD=25-4=21．

点评 本题考查的是解直角三角形，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．