Question

1．如图，已知⊙A过原点O且与x轴交于点C（6，0），与y轴交于点B（0，8），直线y=kx（k＞0）与⊙A交于另一点P，连接线段PC．
（1）线段OP长度的最大值为10，tan∠OPC=$\frac{3}{4}$；
（2）当k=1时，求点P的坐标；
（3）设过点O，C的抛物线y=ax（x-6）的顶点为Q，问是否同时存在a，k的值，使得以O，C，Q为顶点的三角形与△OCP相似？若存在，求出a，k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作AD⊥y轴于点D，作AE⊥x轴于点E，求出⊙A的半径是多少；然后根据当线段OP为圆的直径时，求出线段OP长度的最大值为多少，进而求出tan∠OPC的值是多少即可．
（2）首先作PN⊥x轴于N，CM⊥OP于M，在Rt△OMC中，求出OM的值是多少；然后在Rt△PMC中，tan∠OPC=$\frac{OM}{MP}=\frac{3}{4}$，求出MP、OP的值各是多少，进而求出点P的坐标是多少即可．
（3）根据题意，分三种情况：①当△OPC∽△QOC时；②当△COP∽△QOC时；③当△POC∽△QOC时；然后分类讨论，根据以O，C，Q为顶点的三角形与△OCP相似，求出a，k的值是多少即可．

解答 解：（1）如图1，作AD⊥y轴于点D，作AE⊥x轴于点E，
∵AD=$\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$，AE=$\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴⊙A的半径r=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
∴当线段OP为圆的直径时，
线段OP长度的最大值为：2r=2×5=10，
此时tan∠OPC=$\frac{OC}{PC}=\frac{6}{\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$．

（2）如图2，作PN⊥x轴于N，CM⊥OP于M，
当k=1时，
在Rt△OMC中，∠MOC=45゜，OC=6，
∴OM=MC=$3\sqrt{2}$，
在Rt△PMC中，tan∠OPC=$\frac{OM}{MP}=\frac{3}{4}$，
∴MP=$4\sqrt{2}$，
∴OP=$3\sqrt{2}$+$4\sqrt{2}$=$7\sqrt{2}$，
在Rt△PMC中，PN=ON=7，
∴点P的坐标是（7，7）．

（3）∵抛物线y=ax（x-6）=a（x-3﹚²-9a，
∴Q点的坐标为：（3，-9a），且QO=QA；
假设同时存在a，k的值，使得以O，C，Q为顶点的三角形与△OCP相似，
①当△OPC∽△QOC时，
此时k＜0，不符合题意；

②如图3，当△COP∽△QOC时，作PM⊥x轴于点M，作QN⊥x轴于点N，
∵$\frac{CO}{QO}=\frac{CP}{QC}$，
∴$\frac{CO}{CP}=\frac{QO}{QC}=1$，
∴∠POC=∠P，∠QOC=∠POC=∠P；
则ON=$\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$，
则$\frac{QN}{ON}=tan∠QOC=tan∠OPC$=$\frac{3}{4}$，
∴QN=ON×$\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$，
∴|-9a|=$\frac{9}{4}$，
解得a=$\frac{1}{4}$或a=-$\frac{1}{4}$，
此时k=$\frac{PM}{OM}$=tan∠POC=tan∠OPC=$\frac{3}{4}$．

③如图4，当△POC∽△QOC时，作PM⊥x轴于M，
Q与P重合或关于x轴对称，
∵以B（0，8），C（6，0）为为端点的线段是圆A的直径，
∴A点的坐标是（3，4），
∴OM=3，PM=AM+AP=4+5=9，k=$\frac{PM}{0M}$=3，
此时，|-9a|=9，
解得a=1或a=-1．
综上，可得
同时存在a，k的值，使得以O，C，Q为顶点的三角形与△OCP相似，
当k=$\frac{3}{4}$时，a=$\frac{1}{12}$或a=-$\frac{1}{12}$；当k=3时，a=1或a=-1．
故答案为：10；$\frac{3}{4}$．

点评 （1）此题主要考查了圆的综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．
（2）此题还考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．