Question

15．如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=$\sqrt{5}$，AC=2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 连接CD，易证四边形CEDF是矩形，根据矩形的性质可知CD=EF，所以CD最小时则EF最小，根据垂线段最短可知CD⊥AB时，CD最短问题得解．

解答 解：连接CD，如图所示：
∵∠BCA=90°，AB=$\sqrt{5}$，AC=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=1，
∵∠BCA=90°，DE⊥BC，DF⊥AC
∴四边形EDFC为矩形，
∴EF=CD，
∴当CD⊥AB时，CD最短，
∵CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EF的最小值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．