Question

3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=α，P为直线CD上一动点，点M在线段BC上，连MP，∠MPD=β
（1）如图，若MP⊥CD，α=120°，则∠BMP=150°；
（2）如图，当P点在DC延长线上时，∠BMP=60°+β；
（3）如图，当P点在CD延长线上时，请画出图形，写出∠BMP、β、α之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠CMP，再根据平角的定义列式计算即可得解；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠CMP，再根据平角的定义列式计算即可得解；
（3）根据两直线平行，同位角相等∠BCP，然后利用三角形的内角和定理求出∠CMP，再根据平角的定义列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠C=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∵MP⊥CD，
∴∠CMP=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠BMP=180°-∠CMP=180°-30°=150°；

（2）∵AD∥BC，
∴∠C=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
在△CMP中，∠CMP=180°-∠C-∠MPD=180°-60°-β=120°-β，
∴∠BMP=180°-∠CMP=180°-（120°-β）=60°+β；
故答案为：（1）150°；（2）60°+β；

（3）∵AD∥BC，
∴∠BCP=180°-∠ADP=180°-α，
在△CMP中，∠CMP=180°-∠BCP-∠MPD=α-β，
∴∠BMP=180°-∠CMP=180°-（α-β）=180°-α+β．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，平角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．