Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F，求证：2AC²=EF•EB．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：用AGD≌△CGF，求出AD=FC，得到FC=CE，再由切线定理求之，化为2AC²=（EC+FC）•EB，得出2AC²=EF•EB．

解答：证明：∵DE为⊙O的切线，
∴DE²=EC•EB，
∵AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，AD=EC，
∴AC²=EC•EB，
又∵OD⊥DE，AC∥DE，
∴FG⊥AC，且AG=CG，
∵AD∥BE，
∴∠ACB=∠CAD，
在△AGD和△CGF中，

∠GAD=∠GCF AG=CG ∠AGD=∠CGF

∴△AGD≌△CGF（ASA）
∴AD=FC，
∴EC=FC，
∵AC²=EC•EB，
AC²=FC•EB，
∴2AC²=（EC+FC）•EB，
∴2AC²=EF•EB．

点评：本题主要考查了切线的性质及全等三角形的判定和性质，本题的关键是利用△AGD≌△CGF，求出AD=FC，得到FC=CE，再求证．