Question

17．在△ABC中，已知∠A=α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．
①当α=70°时，∠BDC度数=125度（直接写出结果）；
②∠BDC的度数为90°+$\frac{1}{2}$α（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）①根据角平分线定义以及三角形内角和定理计算即可解决问题．
②根据角平分线定义以及三角形内角和定理计算即可解决问题．
（2）由∠BFC=∠FCE-∠FBC=$\frac{1}{2}（∠ACE-∠ABC）$由此即可解决问题．
（3）利用（2）的结论即可解决问题．

解答 解：（1）①125°；
②结论：${90°}+\frac{1}{2}α$，
理由：∵$∠DBC=\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$α．
故答案分别为125°，90°+$\frac{1}{2}$α．
（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE
∴$∠FBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠FCE=\frac{1}{2}∠ACE$，
∴∠BFC=∠FCE-∠FBC）=$\frac{1}{2}（∠ACE-∠ABC）$=$\frac{1}{2}∠A$
即$∠BFC=\frac{1}{2}α$．

（3）由轴对称性质知：$∠BGC=∠BFC=\frac{1}{2}α$，
由（1）②可得$∠BMC={90°}+\frac{1}{2}∠BGC$，
∴$∠BMC={90°}+\frac{1}{4}α$．

点评 本题考查三角形综合题、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理解决问题，记住本题的两个基本结论，在以后学习中会有帮助的，属于中考常考题型．