Question

如图，AB是⊙O的直径，点E是

BD

上一点，∠DAC=∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是

BD

的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）欲证明AC是⊙O的切线，只需证得AB⊥AC即可；
（2）通过相似三角形（△ADC∽△BAC）的对应边成比例求得AC=6．由圆周角、弧、弦间的关键推知CA=CF=6，故DF=CA-CD=2．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=∠AED=∠CAD，∠C=∠C，∴∠C+∠CAD=∠C+∠B=90°．
∴∠BAC=∠ADC=90°．
即AB⊥AC于点A．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠ACD=∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴

AC

BC

=

CD

AC

．即AC²=BC×CD=36．
解得 AC=6．
∵点E是

BD

的中点，
∴∠DAE=∠BAE．
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2．

点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．